הרצאה 1 - נגזרות של פונקציות מרובות משתנים

נגזרת חלקית

במימד יחיד, הנגזרת מתארת את קצב השינוי של פונקציה ביחס למשתנה שלה
בפונקציה מרובת משתנים, נגזרת בעבור משתנה מסוים היא בדיקה איך משפיע שינוי באותו משתנה על הפונקציה בעוד ששאר המשתנים "מוחזקים במקום" כקבועים

דוגמא לנגזרת במימד יחיד:

- ד ו ג מ א ל נ ג ז ר ת ב ש נ י מ י מ ד י ם : -

f(x, y) = x^2 + 3xy + y - 1

-

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x +3y

- ==כדאי לשים לב להבדל בסימון ההכרזה על נגזרת בין 2 הנגזרות!== # **כלל השרשרת הרב משתני:** * בעצם נבצע כאן את המקבילה הרב משתנית לנגזרת של פונקציה פנימית במספר פונקציות אשר מורכבות אחת על השניה - לדוגמא: -

\begin{gather}
f(x, y) = xy
\
x = cos(t), \ \ y = sin(t)
\
\
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}
\
\
\frac{\partial f}{\partial x} = y \ \ \frac{dx}{dt} = -sin(t) \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = x \ \ \frac{dy}{dx} = cos(t)
\
\frac{df}{dt} = y(-sin(t)) + x(cos(t)) = \ ... \ = cos(2t)
\end

# **נגזרת כיוונית:** * הנגזרת הכיוונית עוזרת לנו למצוא את קצב השינוי של פונקציה בכיוון כלשהוא במישור כאשר יש לנו נקודה התחלתית ממנה אנחנו מחשבים. * סוג של "לאיפה וכמה מטיילים מהנקודה בה אנחנו נמצאים" * כדי למצוא את הכמה מטיילים, נעזר בגרדיאנט # **גרדינט:** * הגודל שאותו נלך בכל ציר עבור פונקציה מסוימת ונק' התחלתית. * חשוב לזכור: 1. הנגזרת הכיוונית ==מקסימלית== כאשר הגרדינט ווקטור היחידה ==באותו כיוון==. 2. הנגזרת הכיוונית ==מינימלית== כאשר הגרדינט ווקטור היחידה ==בכיוונים מנוגדים==. 3. הנגזרת הכיוונית היא ==אפס== כאשר הגרדינט ווקטור היחידה ==ניצבים==. * **המשמעות הגאומטרית של גרדיאנט:** * הגרדינט הוא כיוון העלייה המקסימלי של הפונקציה * מינוס הגרדינט הוא כיוון הירידה המקסימלי של הפונקציה * בכל כיוון המאונך לגרדינט קצב השינוי הוא 0 **דוגמא לשימוש בגרדינט לחישוב נגזרת כיוונית:** מצאו את הנגזרת של $f(x,y) =xe^y + cos(xy)$ בנקודה (2,0) בכיוון (4-, 3). 1. נתחיל מלחשב את וקטור היחידה (הכיוון): $\vec{u} = \frac{\vec{A}}{\|\vec{A}\|} = \frac{(3, -4)}{\sqrt{9 + 16}} = (\frac{3}{5}, \frac{-4}{5})$ 2. נחשב את הגרדינט (גודל הצעדים): $\vec{\nabla} f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (e^y - ysin(xy), xe^y - xsin(xy))$ 3. כדי לקבל את הנגזרת הכיוונית מכפילים את הגרדינט בכיוון: $D_{\vec{u}} f \bigg|_{{2,0}} = \vec{\nabla} f \bigg|_{{2,0}} \cdot \vec{u} = (1,2) \cdot (\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}) = -1$

נגזרת חלקית

יש טעות או חומר חסר?